Sur les toupies et les p-sphères de contact

In meiner Doktorarbeit werden Kontaktkreise und allgemeiner Kontakt-p-
Sphären unter topologischen, geometrischen und algebraischen Gesichtspunkten
untersucht. Eine Kontakt-p-Sphäre ist die Menge der normalisierten Linearkombinationen
von p + 1 Kontaktformen, wenn all diese Linearkombinationen
Kontaktformen sind.
Im ersten Teil betrachten wir invariante Kontakt-p-Sphären auf Prinzipalb
ündeln mit Faser S1. Wir entwickeln Methoden, um ihre topologische
Struktur zu untersuchen und wir klassi�zieren die Prinzipalbündel der Dimension
3 (mit Faser S1), auf denen es invariante Kontaktkreise bzw. Kontaktsphä-
ren gibt. Wir konstruieren auch Beipiele auf allen solchen Prinzipalbündeln,
wo das möglich ist. Die Methoden dieses Teils sind inspiriert von R. Lutz'
Arbeiten aus den 70er Jahren.
Im geometrischen Kapitel betrachten wir nur 3-Mannigfaltigkeiten. Auf
einer riemannschen Mannigfaltigkeit betrachten wie die Menge der Kontaktstrukturen
der Elemente eines Kontaktkreises. Diese Kontaktstrukturen defi-
nieren in jedem Punkt ein Ebenenbüschel, das durch den Kreis indiziert ist,
der den Kontaktkreis parametrisiert. Das Verhalten dieses indizierten Ebenenb
üschels bezüglich der Metrik weist in bestimmten Beispielen (inbesondere
auf S3) erstaunliche Regularitätseigenschaften auf. Wir definieren Kontaktb
üschel und Kontaktkreisel und studieren sie systematisch. Wir erhalten
so eine Klassifizierung der 3-Mannigfaltigkeiten, auf denen es Kontaktkreisel
gibt. Ausserdem beschreiben wir die Metriken, für die es Kontaktkreise auf
einer Mannigfaltigkeit geben kann. Wir erhalten auch verschiedene Ergebnisse
über Eindeutigkeit und Klassifizierung von Kontaktkreisen auf gewissen riemannschen
Mannigfaltigkeiten.
Im algebraischen Teil betrachten wir Lie-Gruppen der Dimensionen 3
und 7, auf denen es linksinvariante Kontakt-p-Sphären gibt, für verschiedene
Werte von p. Dazu suchen wir Kontakt-p-Sphären auf den entsprechenden
Lie-Algebren. Wir beweisen unter anderem, dass die einzige Lie-Algebra der
Dimension 3, auf der es eine Kontaktsphäre gibt, so(3) ist, und dass es in
Dimension 7 auf keiner Lie-Algebra eine Kontakt-5-Sphäre gibt (ausser auf
nicht algebraischen auflösbaren Algebren, für die die Frage noch offen ist).
Wir konstruieren auch eine Anzahl von Beispielen von Kontakt-p-Sphären auf
Was höherdimensionale Mannigfaltigkeiten angeht, so zeigen wir, dass es in
Dimension 4n+1 keine Kontakt-p-Sphären für p >/= 1 gibt. Wir beweisen, dass
es auf (4n − 1)-dimensionalen Sphären immer wenigstens eine Kontaktsphäre
gibt (genauer gesagt eine Kontakt-(p(4n) − 1)-Sphäre, wobei p die Zahl von
Adams ist) und wir geben entsprechende Beispiele.