Das Brezis-Nirenberg-Problem auf der Sphäre Sn

In dieser Arbeit betrachten wir einf¨uhrend im Kapitel 1 nichtlineare partielle
Differenzialgleichungen von der Form:
−"pu − b(x)up−1 = f(x, u) + c(x) up!−1 in"
u > 0 in"
u = 0 auf !",
wobei "pu = div(a(x)|#u|p−2#u) mit a(x) > 0 in " und 1 < p < n. Das
Gebiet " sei beschr¨ankt in Rn mit n $ 3 und p" = n p
n−p der kritische Sobolev-
Exponent. Da die Sobolev-Einbettung von W1,p
0 (") nach Lp!(") nur stetig
und nicht mehr kompakt ist, lassen sich die Standard-Methoden der Variationsrechnung
nicht anwenden. Wir werden jedoch im Kapitel 1 zeigen,
dass das zum obigen Problem geh¨orige Funktional # einer lokalen Kompaktheitsbedingung
gen¨ugt. Mit Hilfe dieser Kompaktheitseigenschaft und dem
Mountainpass-Lemma bzw. dem Variationsprinzip von Ekeland werden wir
die Existenz von schwachen L¨osungen beweisen. Die Beweismethode h¨angt
vom Wachstum der St¨orung f(x, ·) in null ab.
Im Hauptteil der Arbeit, dem Kapitel 2, wenden wir uns dem Brezis-
Nirenberg-Problem auf der Sph¨are zu. Unter dem (verallgemeinerten) Brezis-
Nirenberg-Problem auf der Sph¨are Sn verstehen wir das Problem
−"p,Snu − " uq−1 = up!−1 in"# % Sn
u > 0 in"#
u = 0 auf !"#,
(&)
wobei "# '= Sn ein Gebiet auf der Sph¨are Sn ist. Die Parameter abh¨angige
St¨orung sei von niedrigerer Ordnung, daher gilt 1 < q < p".
Das Problem hat seine urspr¨ungliche Motivation im Yamabe Problem
(siehe Aubin [3]). Brezis und Nirenberg untersuchten in der Arbeit [13] das
nichtlineare elliptische Randwertproblem f¨ur den Laplace-Operator in beschr
¨ankten Gebieten im euklidischen Raum Rn. Ebenfalls f¨ur den Laplace-
Operator untersuchten Ambrosetti, Brezis und Cerami in [2] das in null superlineare Randwertproblem
−"u − " uq−1 = u
n+2
n−2 in" % Rn
u > 0 in"
u = 0 auf !",
mit 1 < q < 2. Sie beweisen die Existenz von zwei positiven L¨osungen. Das
in null superlineare p-Laplace Problem behandelten Azorero und Alonso in
[24] und [26]. Unter geeigneten Voraussetzungen konnten sie ebenfalls die
Existenz von zwei positiven L¨osungen beweisen.
Im Artikel [10] stellt Brezis fest, dass die Existenz von L¨osungen f¨ur das
Brezis-Nirenberg-Problem einerseits von ", andererseits aber auch von der
Topologie des Gebiets " abh¨angt. Ausgehend davon betrachteten Bandle,
Brillard und Flucher [5] dieses Problem auf Gebieten in R¨aumen konstanter
skalarer Kr¨ummung. In ihrer Doktorarbeit [40] untersuchte S. Stapelkamp
das Brezis-Nirenberg Problem im hyperbolischen Raum Hn und in
[4] untersuchten Bandle und Benguria die Existenz und Nichtexistenz von
rotationssymmetrischen L¨osungen f¨ur p = q = 2 in geod¨atischen Kugeln auf
der S3. In dem Zusammenhang konnten Bandle und Benguria ein sehr interessantes
Ph¨anomen beobachten. So beschrieben sie in [4] als erste numerisch
berechnete L¨osungen in grossen Kugeln f¨ur " ( 0.
Das Kapitel 2 ist folgendermassen aufgebaut: In einem ersten Schritt
wird im Kapitel 2.3 ein Existenzresultat von Bandle, Fleckinger und de
Th´elin [6] f¨ur " > 0 verallgemeinert. Im Kapitel 2.4 wird die Nichtexistenz
von L¨osungen f¨ur (&) betrachtet. Es zeigt sich, dass aus der Pohozaev-
Identit¨at f¨ur den p-Laplace-Beltrami-Operator in sternf¨ormigen Gebieten
keine Aussage gewonnen werden kann. Wir werden uns daher auf rotationssymmetrische
L¨osungen in geod¨atischen Kugeln konzentrieren. Das Resultat
schliesst eine L¨ucke zwischen Existenz und Nichtexistenz f¨ur p )
!n+2
3 , n+1
2
"
der Arbeit von Bandle, Fleckinger und de Th´elin [6]. Im Folgenden werden
die F¨alle abh¨angig von p ! q f¨ur das Problem (&) separat betrachtet,
wobei jeweilen der Laplace-Beltrami-Operator (p = 2) und der p-Laplace-
Beltrami-Operator (p '= 2) getrennt diskutiert wird. Der lineare Fall (p = q)
erg¨anzt f¨ur n $ 4 die Arbeit von Bandle und Benguria [4]. Im superlinearen
Fall (1 < q < p) wird durch Minimieren eines abgeschnittenen Funktionals
eine L¨osung f¨ur (&) gefunden. Mit Hilfe von diesem Minimierer folgt aus
dem Mountainpass-Lemma unter geeigneten Voraussetzungen eine zweite
L¨osung f¨ur (&). F¨ur den sublinearen Fall (p < q < p") folgt aus dem Kapitel
1 die Existenz eines "" ) R so, dass f¨ur alle " > "" eine L¨osung f¨ur (&)
existiert. Es wird daher in dem Kapitel darum gehen, "" genauer zu beschreiben.
Mit Hilfe der in Kapitel 3 beschriebenen numerischen Methoden
werden im Kapitel 2.9 die von Bandle und Benguria numerisch gefundenen
L¨osungen systematisch untersucht. Es stellt sich dabei heraus, dass die
L¨osungen eine grosse Struktur aufweisen und unabh¨angig vom kritischen Sobolev-Exponent berechnet werden k¨onnen. Der Existenzbeweis f¨ur diese
L¨osungen ist nach wie vor offen.
Das Kapitel 3 behandelt die verwendeten numerischen Methoden zum
Berechnen von L¨osungen, sowie von L¨osungspfaden des Brezis-Nirenberg-
Problems. Da die Dimension n $ 3 ist, konzentrieren wir uns auf rotationssymmetrische
L¨osungen in geod¨atischen Kugeln. Mit Hilfe von Schiessmethoden
erhalten wir einen Punkt auf einem L¨osungspfad, den wir mit
der “path continuation”-Methode von Keller [32] in einem finite Elemente
Raum fortsetzen.
Notation
Die zu den Sobolev-R¨aumen W1,p
0 (") geh¨origen Normen bezeichnen wir mit
* · *p und die Normen zu den R¨aumen der Lebesgue messbaren Funktionen
Lq(") mit | · |Lq . F¨ur den kritischen Sobolev-Exponent verwenden wir die
Notation p" = np
n−p und mit
Sp = inf
u$W1,p
0
|u|Lp! =1
#
! |#u|pdx
bezeichnen wir (bis auf die Potenz −1/p) die beste Konstante f¨ur die Sobolev-
Einbettung W1,p
0 (") % Lp!("). Es gilt daher
$#
! |u|p!dx
%1/p!
+ S−1/p
p
$#
! |#u|pdx
%1/p
.
Die Konstante ist gegeben durch
(Sp)1/p =
(n − p)
p − 1
$
n (p − 1)
n − p
%1
p
&
$(1 + n − np
) $(np
) #(n − 1)
$(1 + n)
'1
n
,
wobei
#(n) = $n/2
$(n/2 + 1)
=
1
n|Sn−1|
das Volumen der n dimensionalen Einheitskugel ist. Mit |Sn−1| bezeichnen
wir die Oberfl¨ache der n − 1 dimensionalen Sph¨are
Sn−1 =
(
x ) Rn : |x| =
)
x21
+ . . . + x2
n = 1
*
.
Es gilt
|Sn−1| =
2$n/2
$(n/2). Mit
Sp,q(", a, c) = inf
u$K
#
!
a|#u|pdx, K =
(
u ) W1,p
0 (") :
#
!
c |u|qdx = 1
*
bezeichnen wir (bis auf die Potenz −1/p) die beste Konstante f¨ur die Sobolev-
Einbettung W1,p
0 (") % Lq(") mit den Gewichten a ) C1(") mit a(x) > 0
in " und c ) L%(") mit c(x) > 0 in ".